Question

【題目】已知f（x）=（x2﹣2ax）lnx+2ax﹣ x2 ， 其中a∈R．
（1）若a=0，且曲線f（x）在x=t處的切線l過原點，求直線l的方程；
（2）求f（x）的極值；
（3）若函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），證明f（x1）+f（x2）＜ a2+3a．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時， ，f'（x）=2xlnx，所以切線I的斜率k=f'（t）=2tlnt，又直線I過原點，所以k=tlnt﹣ t，

，由2tlnt=tlnt﹣ t，得lnt=﹣ ，t= ．所以k=f'（﹣ ）=﹣ ，故切線I的方程為y=﹣

（2）解：由f（x）=（x2﹣2ax）lnx+2ax﹣ x2，可得f'（x）=（2x﹣2a）lnx，

①當a≤0時f'（x）＞0得x＞1，f'（x）＜0得0＜x＜1，

f（x）在（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，f（x）在x=1時取到極小值，且f（1）=2a﹣ ，f（x）沒有極大值．

②當0＜a＜1時，f'（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，f'（x）＜0得a＜x＜1．f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調遞增，在（a，1）上單調遞減，

f（x）在x=a時取到極大值，且f（a）=﹣a2lna+ ，f（x）在x=1時取到極小值，且f（1）=2a﹣ ；

③當a=1時f'（x）≥0恒成立恒成立，f（x）在R上單調遞增，f（x）沒有極大值也沒有極小值；

④當a＞1時f'（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，f'（x）＜0得1＜x＜a，f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調遞增，在（1，a）上單調遞減，f（x）在x=a時取到極小值，且f（a）=﹣a2lna+ ，．f（x）在x=1時取到極大值，且f（1）=2a﹣ ；

綜上可得，當a≤0時，f（x）在x=1時取到極小值2a﹣ ，f（x）沒有極大值；

當0＜a＜1時，f（x）在x=a時取到極大值﹣a2lna+ ，在x=1時取到極小值2a﹣ ；

當a=1時，f（x）沒有極大值也沒有極小值；

當a＞1時，f（x）在x=a時取到極小值 ，在x=1時取到極大值

（3）解：由（2）知當a＞0且a≠1時，f（x）有兩個極值f（x）點x1，x2，且f（x1）+f（x2）=f（a）+f（1）， = ，

設 ，則 ，所以g（a）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，由a＞0且a≠1可得g（a）＞g（1）=0，所以 ，即

【解析】（1）求出導函數，根據切線的和導函數的關系求解 即可；（2）求出導函數f'（x）=（2x﹣2a）lnx，對a進行分類討論，在不同區間求出函數的單調性，進而判斷函數的最值問題；（3）根據（2）可知a的范圍，得出f（x1）+f（x2）=f（a）+f（1），作差放縮可得 = ，構造函數 ，利用導函數得出函數的單調性，得出g（a）＞g（1）=0，得出結論．