Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，點D在線段AB上，點E在CD的延長線上，連接AE，AE=AC，AF平分∠EAB，交CE于點F，連接BF.

（1）求證：EF=BF；

（2）猜想∠AFC的度數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠AFC=60°，理由見解析.

【解析】

（1）根據SAS證明△AEF≌△ABF，根據全等三角形對應邊相等即可得出結論；

（2）根據全等三角形對應角相等，得到∠E=∠FBA，∠EFA=∠BFA.根據等邊對等角得到∠E=∠ACE，等量代換得到∠FBA=∠ACE，根據三角形內角和為180°得到∠BFD=∠BAC=60°.根據60°+∠DFA=180°－∠DFA變形即可得到結論.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°.

∵AE=AC，

∴AE=AB.

∵AF平分∠EAB，

∴∠EAF=∠BAF.

∵AE=AB，∠EAF=∠BAF，AF=AF，

∴△AEF≌△ABF(SAS)，

∴EF=BF.

（2）∠AFC=60°.理由如下：

∵△AEF≌△ABF，

∴∠E=∠FBA，∠EFA=∠BFA.

∵AE=AC，

∴∠E=∠ACE，

∴∠FBA=∠ACE.

∵∠FDB=∠ADC，

∴∠BFD=∠BAC=60°.

∵∠EFA=180°－∠DFA，

∴60°+∠DFA=180°－∠DFA，

∴∠DFA=60°，

即∠AFC=60°.