Question

4．某單位需采購一批商品，購買甲商品10件和乙商品15件需資金350元，而購買甲商品15件和乙商品10件需要資金375元．
（1）求甲、乙商品每件各多少元？
（2）本次計劃采購甲、乙商品共30件，計劃資金不超過460元，
①最多可采購甲商品多少件？
②若要求購買乙商品的數量不超過甲商品數量的$\frac{4}{5}$，請給出所有購買方案，并求出該單位購買這批商品最少要用多少資金．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以列出相應的二元一次方程組，從而可以解答本題；
（2）根據題意可以列出相應的不等式，從而可以解答本題．

解答 解：（1）設甲商品每件x元，乙商品每件y元，
$\left\{\begin{array}{l}{10x+15y=350}\\{15x+10y=375}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=17}\\{y=12}\end{array}\right.$，
即甲商品每件17元，乙商品每件12元；
（2）①設采購甲商品m件，
17m+12（30-m）≤460，
解得，m≤20，
即最多可采購甲商品20件；
②由題意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{m≤20}\\{30-m≤\frac{4}{5}m}\end{array}\right.$，
解得，$16\frac{2}{3}≤m≤20$，
∴購買方案有四種，
方案一：甲商品20件，乙商品10件，此時花費為：20×17+10×12=460（元），
方案二：甲商品19件，乙商品11件，此時花費為：19×17+11×12=455（元），
方案三：甲商品18件，乙商品12件，此時花費為：18×17+12×12=450（元），
方案四：甲商品17件，乙商品13件，此時花費為：17×17+13×12=445（元），
即購買甲商品17件，乙商品13件時花費最少，最少要用445元．

點評 本題考查一元一次不等式的應用、二元一次方程組的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．