Question

11、若a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的任意一個(gè)排列（n是奇數(shù)），則（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是偶數(shù)．

Answer 1

分析：由a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的任意一個(gè)排列（n是奇數(shù)），可得a₁+a₂+…+a_n=1+2+…+n，（a₁-1）+（a₂-2）+…+（a_n-n）=0是偶數(shù)，根據(jù)奇數(shù)個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，則其中必至少有一個(gè)是偶數(shù)的性質(zhì)即可證明．

解答：證明：∵a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的任意一個(gè)排列（n是奇數(shù)），
∴a₁+a₂+…+a_n=1+2+…+n，
∴（a₁-1）+（a₂-2）+…+（a_n-n）=0是偶數(shù)，
∴（a₁-1），（a₂-2），…，（a_n-n）中必至少有一個(gè)是偶數(shù)，
∴（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是偶數(shù)，
即證之．

點(diǎn)評：本題考查了整數(shù)的奇偶性問題，難度一般，關(guān)鍵是掌握奇數(shù)個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，則其中必至少有一個(gè)是偶數(shù)．