Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于雙曲線和雙曲線，如果，則稱雙曲線和雙曲線為“倍半雙曲線”，雙曲線是雙曲線的“倍雙曲線”，雙曲線是雙曲線的“半雙曲線”，

(1)請你寫出雙曲線的“倍雙曲線”是_____；雙曲線的“半雙曲線”是______；

(2)如圖1，在平面直角坐標系中，已知點是雙曲線在第一象限內任意一點，過點與軸平行的直線交雙曲線的“半雙曲線”于點，求的面積；

(3)如圖2，已知點是雙曲線在第一象限內任意一點，過點與軸平行的直線交雙曲線的“半雙曲線”于點，過點與軸平行的直線交雙曲線的“半雙曲線”于點，若的面積記為，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)的面積為1；(3).

【解析】

(1)直接利用“倍雙曲線”的定義即可；

(2)利用雙曲線的性質即可；

(3)先利用雙曲線上的點設出的橫坐標，進而表示出的坐標；

用三角形的面積公式建立不等式即可得出結論；

(1)由“倍雙曲線”的定義

∴雙曲線，的“倍雙曲線”是；

雙曲線的“半雙曲線”是．

故答案為，；

(2)如圖1，

∵雙曲線的“半雙曲線”是，

∴的面積為2，的面積為1，

∴的面積為1．

(3)如圖2，

依題意可知雙曲線的“半雙曲線”為，

設點的橫坐標為，則點坐標為，點坐標為，

∴．

∴．

同理．

∴

∵，

∴．

∴，