Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣2，0）和B（4，0）、與y軸交于點C．點M，Q分別從點A，B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發相向而行．當點M到達原點時，點Q立刻掉頭并以每秒個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動．過點M的直線l⊥x軸，交AC或BC于點P．當t＝_____時，△APQ的面積S有最大值，為_____．

Answer 1

【答案】； ．

【解析】

把A，B的坐標代入y＝ax2+bx+4求得拋物線的解析式，①當0＜t≤2時，△AMP∽△AOC，得出，用含t的式子表示出PM，AQ，然后求出面積S的表達式，利用配方法求出最值；②當2＜t≤3時，作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點F，同①用含t的式子表示出PM，AQ，然后求出面積S的表達式，利用配方法求出最值即可．

解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：

，解得：，

∴拋物線的解析式是：y＝﹣x2+x+4，

∴C（0，4），對稱軸為x＝1，

∴AO＝2，CO＝BO＝4，AB＝AO+BO＝6，

①當0＜t≤2時，

∵MP∥CO，∴△AMP∽△AOC，

∴，∴PM＝＝2t，

又AQ＝6﹣t，

∴S＝PMAQ＝×2t（6﹣t）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，

當t＝2時，S取最大值，最大值為8；

②當2＜t≤3時，作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點F，

則FP∥BO，∴△COB∽△CFP，

∵CO＝OB，∴FP＝FC＝t﹣2，∴PM＝OF=4﹣（t﹣2）＝6﹣t，

又AQ＝4+（t﹣2）＝t+1，

∴S＝PMAQ＝（6﹣t）（t+1）＝﹣t2+4t+3＝﹣（t﹣）2+，

當t＝時，S取最大值，最大值為，

綜上所述，當t＝時，S取最大值，最大值為．

故答案為：；．