Question

【題目】在平面直角坐標系中，過一點分別作軸，軸的垂線，若其與兩坐標軸圍成的矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點．例如，圖1中過點分別作軸，軸的垂線，垂足為，，矩形的周長為，面積也為，則點是和諧點．

請根據以上材料回答下列問題：

（1）若點是和諧點，則______；

（2）若第一象限內的點與點均為和諧點，求的值；

（3）如圖2，若點為和諧點，且在直線上，求所有滿足條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）滿足條件的點分別是或．

【解析】

（1）根據題意列出關于a的方程，再解方程即可解答；

（2）利用和諧點定義列出方程組，求出方程組的解，然后再代入即可解答；

（3）設P（c，c+3），利用和諧點定義列出方程，分類討論x的范圍并求x的值，即可確定出P坐標．

（1）根據題意得：2（|a|+5）=5|a|，

解得：a=或；

故答案為或；

（2）第一象限內的點與點均為和諧點，

化簡并整理得．

（3）直線與軸的交點為，設點坐標為．

根據題意有，

①當時，方程為．

整理得．

解得，（舍去）．

．

②當時，方程為．

整理得．

此方程無解．

③當時，方程為．

整理得．

解得，（舍去）．

．

綜上所述，滿足條件的點分別是或．