Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在AB、AD上，且AE=DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．下列結論：

①△ABD是正三角形；②若AF=2DF，則EG=2DG；③△AED≌△DFB；④S四邊形BCDG=CG2；

其中正確的結論是　　．

 

 

Answer 1

①③④.

【解析】

試題分析：

①∵ABCD為菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，

∴△ABD為等邊三角形．

故本小題正確；

②過點F作FP∥AE于P點，

DP：PE=DF：DA=1：2，

而點G與點P不重合，否則與與原題矛盾，

所以EG=2DG錯誤；

③∵△ABD為等邊三角形．

∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB，故本小題正確；

④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴點B、C、D、G四點共圓，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．

∴∠BGC=∠DGC=60°．

過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．

則△CBM≌△CDN，（AAS）

∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN．

S四邊形CMGN=2S△CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM=CG，CM=CG，

∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，故本小題正確；

綜上所述，正確的結論有①③④．

故答案為：①③④．

考點：菱形的性質；全等三角形的判定與性質．