Question

如圖，在△ABC中，AC="BC," AB=6，O為AB的中點，且以O為圓心的半圓與AC，BC分別相切于點D，E；

小題1:求半圓O的半徑；
小題2:求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

小題1:解：連結OD，OC，

∵半圓與AC，BC分別相切于點D，E.
∴.
∵，且O是AB的中點.∴
∴.AO=AB=3
∵,∴.
∴.
∴在中，.OD=AO=
即半圓的半徑為.      
小題2:設CO=x，則在中，因為，所以AC=2x，由勾股定理得：

即   (2x)-x=3
解得   x=（x=-舍去）
S=×6×-×π×()=3-π     
∴陰影部分的面積為3-π

分析：（1）連接OC，OD，根據切線的性質得到OD⊥AC，在直角△AOD中，用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可以求出半圓的半徑．
（2）先在直角△AOC中求出OC的長，計算出△ABC的面積，然后用三角形的面積減去半圓的面積得到陰影部分的面積．
解：連結OD，OC，

∵半圓與AC，BC分別相切于點D，E.
∴.
∵，且O是AB的中點.∴
∴.AO=AB=3
∵,∴.
∴.
∴在中，.OD=AO=
即半圓的半徑為.      
小題2:設CO=x，則在中，因為，所以AC=2x，由勾股定理得：

即   (2x)-x=3
解得   x=（x=-舍去）
S=×6×-×π×()=3-π     
∴陰影部分的面積為3-π