【題目】如圖1，已知拋物線
過點
．
（1）求拋物線的解析式及其頂點C的坐標；
（2）設點D是x軸上一點，當
時，求點D的坐標；
（3）如圖2．拋物線與y軸交于點E，點P是該拋物線上位于第二象限的點，線段PA交BE于點M，交y軸于點N，
和
的面積分別為
，求
的最大值．
【答案】（1）
，頂點C的坐標為-（-1,4）；（2）
；（3）
的最大值為
.
【解析】
（1）利用待定系數法，將A，B的坐標代入
即可求得二次函數的解析式；
（2）設拋物線對稱軸與x軸交于點H，在
中，可求得
，推出
，可證
，利用相似三角形的性質可求出AD的長度，進一步可求出點D的坐標，由對稱性可直接求出另一種情況；
（3）設
代入
，求出直線PA的解析式，求出點N的坐標，由
，可推出
，再用含a的代數式表示出來，最終可用函數的思想來求出其最大值．
解：（1）由題意把點
代入，
得，
，
解得
，
∴此拋物線解析式為：
，頂點C的坐標為
（2）∵拋物線頂點
，
∴拋物線對稱軸為直線
，
設拋物線對稱軸與x軸交于點H，
則
，
在中，
，
，
∴當時，
如圖1，當點D在對稱軸左側時，
，
，
，
，
，
當點D在對稱軸右側時，點D關于直線
的對稱點D'的坐標為
，
∴點D的坐標為
或；
（3）設
，
將
代入，
得，
，
解得，
，
當
時，
，
如圖2，
，
由二次函數的性質知，當
時，
有最大值，
和
的面積分別為m、n，
的最大值為．
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【題目】南海是我國的南大門，如圖所示，某天我國一艘海監執法船在南海海域正在進行常態化巡航，在A處測得北偏東30°方向上，距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行，便迅速沿北偏東75°的方向前往監視巡查，經過一段時間后，在C處成功攔截不明船只，問我海監執法船在前往監視巡查的過程中行駛了多少海里（最后結果保留整數）？
（參考數據：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，
=1.732， =1.414）
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【題目】【發現證明】
如圖1，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，試判斷BE，EF，FD之間的數量關系．
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，通過證明△AEF≌△AGF；從而發現并證明了EF=BE+FD．
【類比引申】
（1）如圖2，點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，請根據小聰的發現給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數量關系，并證明；
【聯想拓展】
（2）如圖3，如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點E、F在邊BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】今年 3 月 12 日植樹節期間， 學校預購進 A、B 兩種樹苗，若購進 A種樹苗 3 棵，B 種樹苗 5 棵，需 2100 元，若購進 A 種樹苗 4 棵，B 種樹苗 10棵，需 3800 元．
（1）求購進 A、B 兩種樹苗的單價；
（2）若該單位準備用不多于 8000 元的錢購進這兩種樹苗共 30 棵，求 A 種樹苗至少需購進多少棵？
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【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC．將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，其中點E在邊BC上，DE與AC相交于點O．連接AE、DC、AD，當點E在什么位置時，四邊形AECD為矩形，并說明理由．
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【題目】大學畢業生小李自主創業，開了一家小商品超市.已知超市中某商品的進價為每件20元，售價為每件30元，每個月可賣出180件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月就會少賣出10件，但每件售價必須低于34元，設每件商品的售價上漲
元（為非負整數)，每個月的銷售利潤為
元.
（1）求與的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
（2）利用函數關系式求出每件商品的售價為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）利用函數關系式求出每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰好是1920元？這時每件商品的利潤率是多少？
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【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD，（點D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若DC、AB的延長線相交于點E，且DE＝12，AD＝9，求BE的長．
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【題目】[問題]小明在學習時遇到這樣一個問題：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．
他經歷了如下思考過程：
[回顧]
（1）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y1＝ax+b與雙曲線y2＝
交于A （1，3）和B（﹣3，﹣1），則不等式ax+b＞的解集是 ．
[探究]將不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按條件進行轉化：
當x＝0時，原不等式不成立；
當x＞0時，不等式兩邊同除以x并移項轉化為x2+3x﹣1＞
；
當x＜0時，不等式兩邊同除以x并移項轉化為x2+3x﹣1＜．
（2）構造函數，畫出圖象：
設y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐標系中分別畫出這兩個函數的圖象；
雙曲線y4＝如圖2所示，請在此坐標系中畫出拋物線y＝x2+3x﹣1．（不用列表）
（3）確定兩個函數圖象公共點的橫坐標：
觀察所畫兩個函數的圖象，猜想并通過代入函數解析式驗證可知：滿足y3＝y4的所有x的值為 ．
[解決]
（4）借助圖象，寫出解集：
結合“探究”中的討論，觀察兩個函數的圖象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集為 ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F．
（1）求證：△AEB≌△CFD；
（2）當∠ABE= 度時，四邊形BEDF是菱形．
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