Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，連結EB，交OD于點F．

（1）求證：OD⊥BE．

（2）若DE=，AB=6，求AE的長．

（3）若△CDE的面積是△OBF面積的，求線段BC與AC長度之間的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4；（3）AC=BC．

【解析】

（1）連接AD．根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的性質以及平行線的性質即可證明；

（2）先證△CDE∽△CAB得，據此求得CE的長，依據AE=AC-CE=AB-CE可得答案；

（3）由BD=CD知S△CDE=S△BDE，證△OBF∽△ABE得，據此知S△ABE=4S△OBF，結合知S△ABE=6S△CDE，S△CAB=8S△CDE，由△CDE∽△CAB知，據此得出，結合BD=CD，AB=AC知，從而得出答案．

（1）連接AD，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴∠CAD=∠BAD，BD=CD，

∴，

∴OD⊥BE；

（2）∵∠AEB=90°，

∴∠BEC=90°，

∵BD=CD，

∴BC=2DE=2，

∵四邊形ABDE內接于⊙O，

∴∠BAC+∠BDE=180°，

∵∠CDE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠BAC，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAB，

∴，即，

∴CE=2，

∴AE=AC-CE=AB-CE=4；

（3）∵BD=CD，

∴S△CDE=S△BDE，

∵BD=CD，AO=BO，

∴OD∥AC，

∵△OBF∽△ABE，

∴，

∴S△ABE=4S△OBF，

∵，

∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，

∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，

∵△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∵BD=CD，AB=AC，

∴，即AC=BC．