Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是OB的中點，過點B作BF∥AC交AE的延長線于點F，連接CF．

（1）求證：△AOE≌△FBE；

（2）求證：四邊形BOCF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據E是OB的中點得OE=BE，根據BF∥AC得∠AOE=∠FBE，∠OAE=∠BFE，進而根據“AAS”即可證得△AOE≌△FBE；

（2）由矩形ABCD可得AO=CO=BO，由△AOE≌△FBE可得AO=BF，進而可得CO=BF，根據BF∥AC，CO=BF可得四邊形BOCF是平行四邊形，再結合CO=BO即可得證．

證明：（1）∵E是OB的中點，

∴OE=BE，

∵BF∥AC，

∴∠AOE=∠FBE，∠OAE=∠BFE，

在△AOE與△FBE中，

∴△AOE≌△FBE（AAS）；

（2）∵矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，

∴AO=CO=BO，

∵△AOE≌△FBE，

∴AO=BF，

∴CO=BF，

∵BF∥AC，CO=BF，

∴四邊形BOCF是平行四邊形，

又∵CO=BO，

∴四邊形BOCF是菱形．