Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，AB∥x軸，OA=2，雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．將△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在x軸的負(fù)半軸上，若AB的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段AC恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和雙曲線(xiàn)的解析式；

（2）判斷點(diǎn)C是否在雙曲線(xiàn)上，并說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1），雙曲線(xiàn)的解析式為；（2）點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)，得到，得到△AOD是等邊三角形，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后得到雙曲線(xiàn)的解析式；

（2）先求出OC的長(zhǎng)度，然后利用特殊角的三角函數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后進(jìn)行判斷即可.

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為．

∵軸，

．

有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，．

．

．

為等邊三角形．

．

，

．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由題意知，，．

雙曲線(xiàn)的解析式為：．

（2）點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，理由如下：

過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．

由（1）知，．

．

．

，

．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

將代入中，．

點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上．