Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yx2bxc交x軸于點A，B，點B的坐標為(4，0)，與y軸于交于點C(0，﹣2)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取點D，若點D的橫坐標為5，求點D的坐標及∠ADB的度數；

（3）在（2）的條件下，設拋物線對稱軸交x軸于點H，△ABD的外接圓圓心為M（如圖1），

①求點M的坐標及⊙M的半徑；

②過點B作⊙M的切線交于點P（如圖2），設Q為⊙M上一動點，則在點Q運動過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為，45°；（3）①點的坐標為，的半徑為；②在點運動過程中的值不變，其值為

【解析】

（1）將，代入解析式，求出解析式的系數，即可得解；

（2）將代入解析式，求出，可得點坐標；令，求出A、B坐標，由勾股定理或兩點間距離公式求出AD、BD，再由面積法求出BH，從而求出∠ADB的正弦值，可知∠ADB的度數；

（3）①由圓周角定理結合等腰直角三角形邊的關系求出點的坐標和⊙的半徑；②證明QH和QP所在的△HMQ和△QMP相似即可．

（1）將，代入解析式得，，，

∴設拋物線的解析式為：

（2）當時，

∴點的坐標為，

當時，或4，

∴，

如圖，連結，作于，

∵，，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）①如圖，連接，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴點的坐標為，⊙的半徑為；

②如圖，連接，，

∵過點作⊙的切線交于點，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，

∴在點運動過程中的值不變，其值為．