Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣（a+1）x﹣3與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，∠BCO=45°，點M為線段BC上異于B、C的一動點，過點M與y軸平行的直線交拋物線于點Q，點R為線段QM上一動點，RP⊥QM交直線BC于點P．設點M的橫坐標為m．

（1）求拋物線的表達式；
（2）當m=2時，△PQR為等腰直角三角形，求點P的坐標；
（3）①求PR+QR的最大值；②求△PQR面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=ax2﹣（a+1）x﹣3中，令x=0可得y=﹣3，

∴C（0，﹣3），即OC=3，

∵∠BCO=45°，

∴OB=OC=3，

∴B（3，0），

把B點坐標代入拋物線解析式可得9a﹣3（a+1）﹣3=0，求得a=1，

∴拋物線的表達式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：當m=2時，則M（2，0），

把x=2代入拋物線解析式可得y=﹣3，

∴Q（2，﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC表達式為y=x﹣3，

∴可設P（p，p﹣3），則PR=2﹣p，QR=p﹣3﹣（﹣3）=p，

∵PR=QR，

∴2﹣p=p，解得p=1，

∴P（1，﹣2）

（3）

解：①由（2）可知M（m，m﹣3），Q（m，m2﹣2m﹣3），

∵PR⊥MQ，

∴∠MPR=45°，

∴MR=PR，

∴PR+QR=PR+MR=QM=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∵﹣1＜0，

∴當m= 時，PR+QR取最大值 ；

②∵PR+QR的最大值為 ，

∴S△PQR= PRQR≤ PR（ ﹣PR）=﹣ （PR﹣ ）2+ ，

∵ ＜0，

∴當PR= 時，△PQR的面積取得最大值 ．

【解析】（1）可先求得C點坐標，利用∠BCO=45°可求得B點坐標，代入拋物線解析式可求得a，可求得拋物線解析式；（2）可先求得Q的坐標，利用待定系數法可求得直線BC解析式，設出P點坐標，則可表示出PR、QR的長，由等腰三角形的性質可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標；（3）①由題意可知PR=RM，故PR+QR=MQ，設出可用m表示出Q點坐標，則可表示出MQ的長，利用二次函數的性質可求得其最大值；②用PR表示出△PQR的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值．