Question

【題目】如圖，已知正比例函數y=2x與反比例函數y=（k＞0）的圖象交于A、B兩點，且點A的橫坐標為4，

（1）求k的值；

（2）根據圖象直接寫出正比例函數值小于反比例函數值時x的取值范圍；

（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）于P、Q兩點（P點在第一象限），若由點A、P、B、Q為頂點組成的四邊形面積為224，求點P的坐標．

【答案】(1) k=32 (2) x＜﹣8或0＜x＜8 (3) P（﹣7+3 ，16+）；或P（7+3，﹣16+）

【解析】分析：（1）先將x=4代入正比例函數y=2x，可得出y=8，求得點A（4，8），再根據點A與B關于原點對稱，得出B點坐標，即可得出k的值；

（2）正比例函數的值小于反比例函數的值即正比例函數的圖象在反比例函數的圖象下方，根據圖形可知在交點的右邊正比例函數的值小于反比例函數的值．

（3）由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應該是平行四邊形，那么△POA的面積就應該是四邊形面積的四分之一即56．可根據雙曲線的解析式設出P點的坐標，然后表示出△POA的面積，由于△POA的面積為56，由此可得出關于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．

詳解：（1）∵點A在正比例函數y=2x上，

∴把x=4代入正比例函數y=2x，

解得y=8，∴點A（4，8），

把點A（4，8）代入反比例函數y=，得k=32，

（2）∵點A與B關于原點對稱，

∴B點坐標為（﹣4，﹣8），

由交點坐標，根據圖象直接寫出正比例函數值小于反比例函數值時x的取值范圍，x＜﹣8或0＜x＜8；

（3）∵反比例函數圖象是關于原點O的中心對稱圖形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四邊形APBQ是平行四邊形，

∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×224=56，

設點P的橫坐標為m（m＞0且m≠4），

得P（m， ），

過點P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，

∵點P、A在雙曲線上，

∴S△POE=S△AOF=16，

若0＜m＜4，如圖，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=56．

∴（8+）（4﹣m）=56．

∴m1=﹣7+3，m2=﹣7﹣3（舍去），

∴P（﹣7+3，16+）；

若m＞4，如圖，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=56．

∴×（8+）（m﹣4）=56，

解得m1=7+3，m2=7﹣3（舍去），

∴P（7+3，﹣16+）．

∴點P的坐標是P（﹣7+3，16+）；或P（7+3，﹣16+）．

點睛：本題考查了待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式和反比例函數y=中k的幾何意義．這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．利用數形結合的思想，求得三角形的面積．

【題型】解答題
【結束】
23

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，點E，F分別在線段AD，DC上（點E與點A，D不重合），且∠BEF=110°．

（1）求證：△ABE∽△DEF．

（2）當點E為AD中點時，求DF的長；

（3）在線段AD上是否存在一點E，使得F點為CD的中點？若存在，求出AE的長度；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】分析：（1）由AD∥BC可求得∠A=∠D=110°，由三角形外角可求得∠AEB=∠DFE，則可證得△ABE∽△DEF；

（2）當E為AD中點時，則可求得DE=AE=，利用相似三角形的性質可得到關于DF的方程，可求得DF的長；

（3）設AE=x，則DE=9﹣x，利用F為CD的中點可得DF=，利用相似三角形的性質可得到關于x的方程，解方程進行判斷即可．

詳解：（1）∵AB=DC=AD=9，AD∥BC，∴梯形ABCD為等腰梯形．

∵∠ABC=70°，∴∠A=∠D=180°﹣70°=110°．

∵∠BEF=110°，∴∠AEB+∠BEF=∠D+∠DFE，∴∠AEB=∠DFE，∴△ABE∽△DEF；

（2） 當E為AD的中點時，則AE=DE=．

∵△ABE∽△DEF，

∴=，即=，

∴DF=；

（3）不存在．理由如下：

若F為CD的中點，則DF=，設AE=x，則DE=9﹣x，同（2）可得：=，即=，

整理可得：x2﹣9x+=0，

∴△=（﹣9）2﹣4×=﹣81＜0，

∴方程無實數根，

∴不存在滿足條件的點E．