Question

【題目】將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發現等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合，DF=8．

（1）若P是BC上的一個動點，當PA=DF時，求此時∠PAB的度數；

（2）將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30°，點C落在BF上，AC與BD交于點O，連接CD，如圖②．

①探求△CDO的形狀，并說明理由；

②在圖①中，若P是BC的中點，連接FP，將等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉，當旋轉角α= 時，FP長度最大，最大值為 （直接寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①見詳解；②，.

【解析】

（1）作交BC于點H，由等腰三角形三線合一及直角三角形斜邊中線的性質可得，在中解直角三角形可知BC長，即知AH長，，在中解直角三角形可知，分點P在位置和在位置2種情況求解即可；

（2）①利用等腰三角形兩底角相等及三角形外角的性質可求得，易知△CDO為等腰三角形；

②由點P是BC的中點，FP長度最大，可知點F、B、P在同一條直線上，即點P在FB的延長線上，易知旋轉角，求出BP、BF的長，相加即為FP長.

解：（1）如圖，作交BC于點H，

為等腰直角三角形

當時，

當點P在位置時，

，

；

當點P在位置時，

，

綜上所述，∠PAB的度數為或；

（2）①△CDO為等腰三角形.

，即

所以△CDO為等腰三角形；

②點P是BC的中點，FP長度最大，則點F、B、P在同一條直線上，即點P在FB的延長線上，如圖所示，

邊旋轉了

點P是BC的中點，

在中，

所以當旋轉角時，FP長度最大，最大值為.