Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸正半軸于點（1，0）和點，交軸于點．

（1）如圖1，直線經過點、點，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點為該拋物線的頂點，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，該拋物線對稱軸右側的拋物線上有一點，當時，求點的縱坐標．

（3）如圖3，在（1）（2）的結論下，拋物線對稱軸右側的拋物線上有一點，作軸于點，延長交于，當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的縱坐標為2；（3）點的坐標為（，11）．

【解析】

（1）由直線的解析式，先求出點B、C的坐標，結合點A的坐標，利用待定系數法即可得到答案；

（2）把點A代入，求出n的值，然后得到點C和點E的坐標，然后求出點F的坐標，設點P為（x，），由，即可求出點P的橫坐標，即可求出點P的縱坐標；

（3）過點P作PI⊥GH于點I，先求出直線PE的解析式，得到PK=2PI，然后設點G為（m，），表示出GK的長度，結合，得到關于m的一元二次方程，解方程求出m的值，即可得到答案．

解：（1）∵經過點、點，

∴令，，

令，，

∴點B為（3，0），點C為（0，3），

設拋物線的解析式為，

把點A、B、C，三點代入解析式，得：

，解得：，

∴；

（2）∵點A（1，0）在拋物線圖像上，則

，

∴，

∴，

∴頂點E為（2，），

令x=0，則，

∴點C為（0，3），

∵EF垂直平分CD，

∴點D的坐標為（4，3），點F的坐標為（2，3），

∵點P在拋物線上，則設點P為（x，），

又∵E為（2，），F為（2，3），

∴，，

∵，

∴，

∴，

解得：，

∵點P在對稱軸右側，則，

∴點P的橫坐標為，

∴點P的縱坐標為：

；

（3）如圖：過點P作PI⊥GH于點I，

∵點E（2，），點P為（，2），

∴可求出直線PE的解析式為：，

∴∠KPI=60°，

∵PI⊥GH，

∴∠KIP=90°，∠PKI=30°，

∴PK=2PI，

∵點G在拋物線圖像上，

則設點G為（m，），

∴點K的坐標為（m，）

∴GK=；

∵第P的坐標為（，2），

∴點I的坐標為（m，），

∴PI=，

∴PK=，

∵，

∴，

解得：，，

當時，點G與點P、點K重合，

∴；不符合題意，舍去；

∴點G的橫坐標為；

∴點G的縱坐標為：，

∴點G的坐標為（，11）．