Question

已知如圖△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BO和CO相交于O點
（1）當∠A=40°時，∠BOC=

 

；
（2）當∠BOC=m時，則∠A為多少？（用含m的式子表示）說明理由．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC與∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的兩條角平分線，即可求得∠OBC與∠OCB的度數，根據三角形的內角和定理即可求解．
（2）根據三角形的內角和定理以及角平分線的定義和三角形外角和定理進行證明．

解答：解：（1）△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的兩條角平分線．
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=70°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=110°．
故答案為：110°；

（2）∠BOC=90°+

1

2

∠A．
理由如下：延長BO交AC于點P，
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠A+2∠ABP+2∠ACO=180°，
∴∠ABP+∠ACO=90°-

1

2

∠A，
∵∠BPC=∠A+∠ABP，
∠BOC=∠BPC+∠ACO，
∴∠BOC=∠A+∠ABP+∠ACO=90°+

1

2

∠A．

點評：此題主要考查了三角形的內角和定理，以及三角形的角平分線的定義，熟練應用三角形外角和定理得出是解決問題的關鍵．