Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，E是AC的中點．

（1）求證：∠EBD＝∠EDB

（2）若∠BED＝120°，試判斷△BDC的形狀．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△BDC為等邊三角形.

【解析】

（1）根據直角三角形的性質得到BE＝DE＝EC＝AC，即可得出結論；

（2）首先證明AE垂直平分BD，得到BC＝DC，然后根據等腰三角形的性質可得∠AEB＝∠BED＝60°，進而可得∠EBC＝30°，∠DBE＝30°，求出∠DBC＝60°即可得到△DBC為等邊三角形．

證明：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，

∵E是AC的中點，

∴BE＝EC＝AC，

同理可得：DE＝EC＝AC，

∴BE＝DE，

∴∠EBD＝∠EDB；

（2）△DBC為等邊三角形，

∵BE＝DE，

∴點E在BD的中垂線上，

∵AB＝AD，

∴點A在BD的中垂線上，

∴AE垂直平分BD，

∴BC＝DC，

在△DEB中，DE＝BE，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠BED＝60°，

∵BE＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB＝30°，

∵∠DBE＝90°﹣∠AEB＝30°，

∴∠DBC＝60°，

∴△DBC為等邊三角形．