Question

（2009•裕華區(qū)二模）如圖1，等腰直角△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），頂點(diǎn)C在第一象限．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿△ABC的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)O從點(diǎn)E（4，0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
（1）求AB邊的長及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），求P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．
（3）求（2）中面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）若點(diǎn)P、Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿著A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某時(shí)刻t（秒）．使得OP=PQ，如果存在，請(qǐng)求出符合條件的t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥MB的延長線于點(diǎn)N，由條件可以得出△AMB≌△BNC，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可以求出AM、BM的值，可以求出C的坐標(biāo)，由勾股定理可以求出AB的值．
（2）由圖2可知，點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B用了10秒，由行程問題的數(shù)量關(guān)系可以求出P、Q的運(yùn)動(dòng)速度．
（3）作PG⊥y軸于G，BF⊥y軸于F，如圖則PG∥BF，△AGP∽△AFB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例表示出三角形POQ的高，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出（2）中面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式．然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式就可以求出最值了．
（4）當(dāng)P在AB 上時(shí)，若OP=PQ，如圖則作PH⊥x軸，有△AGP∽△AFB；當(dāng)P在 BC上時(shí)，若OP=PQ過P作PH⊥x軸，過B作BF⊥y軸于F，交PH于M．有△PBM∽△BAF，有相似三角形的性質(zhì)就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥MB的延長線于點(diǎn)N，
∴∠AMB=∠CNB=90°
∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），
∴MB=8，MO=4，AO=10，
∴AM=6，在Rt△AMB中，由勾股定理，得
AB=10
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴△AMB≌△BNC，
∴BN=AM=6，CN=BM=8，
∴MN=14，CN=8
∴C（14，12）

（2）由圖2可知，點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B用了10秒
∵AB=10，10÷10=1，
∴P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位．
（3）作PG⊥y軸于G，BF⊥y軸于F，如圖則PG∥BF，
∴△AGP∽△AFB，
∴

GA

FA

=

AP

AB

，
∴GA=

3

5

t，
∴OG=10-

3

5

t，
∵OQ=4+t，
∴S=

1

2

OQ×OG=

1

2

（4+t）（ 10-

3

5

t）
即S=-

3

10

t2+

19

5

t+20
S=-

3

10

（t²-

38

3

t）+20
S=-

3

10

（t-

19

3

）²+

961

30

∴當(dāng)t=

19

3

時(shí)，S有最大值，此時(shí)，GP=

4

5

t=

76

15

，OG=10-

3

5

t=

31

5

∴P（

76

15

，

31

5

）  
（4）當(dāng)P在AB 上時(shí)，若OP=PQ如圖則作PH⊥x軸，
于是OH=

1

2

OQ=

1

2

(4+t)．
∵△AGP∽△AFB
∴

OH

t

=

8

10

，OH=

4

5

t
∴

4

5

t=

1

2

(4+t)，t=

20

3

當(dāng)P在 BC上時(shí)，若OP=PQ
過P作PH⊥x軸，過B作BF⊥y軸于F，交PH于M．
∵△PBM∽△BAF，OH=

1

2

OQ=

1

2

(4+t)，PB=t-10，BA=10，AF=6，
∴

t-10

10

=

BM

6

，BM=

3

5

（t-10），
∴8+

3

5

（t-10）=

1

2

(4+t)，t=0（舍去），
∴綜上所述：當(dāng)t=

20

3

時(shí)，OP=PQ

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積的運(yùn)用，二次函數(shù)解析式的運(yùn)用，坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題的解答．