Question

【題目】已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如圖，D為AC上任一點，連接BD，過A點作BD的垂線交過C點與AB平行的直線CE于點E．求證：BD＝AE．

（2）若點D在AC的延長線上，如圖，其他條件同（1），請畫出此時的圖形，并猜想BD與AE是否仍然相等？說明你的理由．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵AB∥CE，

∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∵AF⊥BD，

∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中，

AB="AC" ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD ∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE．

（2）BD與AE仍然相等，

證明：過點C作AB∥CE，過點A作AE⊥BD于點F，

∵AB∥CE，

∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

，∵AF⊥BD，

∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中，

AB="AC" ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE．

【解析】

（1）先證∠ABD=∠CAE，再證△ABD≌△CAE即可得出答案．

（2）根據題意畫出圖形，然后可根據△ABD≌△ACE得出結論