Question

【題目】如圖，ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點 P 從 A 點出發沿 A-C-B 路徑向終點運動，終點為 B點；點 Q 從 B 點出發沿 B-C-A 路徑向終點運動，終點為 A 點，點 P 和 Q 分別以 1cm/s 和 xcm / s 的運動速度 同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過 P 和 Q 作 PE⊥ l 于 E，QF⊥ l 于 F.

(1)如圖，當 x 2 時，設點 P 運動時間為 ts ，當點 P 在 AC 上，點 Q 在 BC 上時：

①用含 t 的式子表示 CP 和 CQ，則 CP= cm，CQ= cm；

②當 t 2 時,PEC 與QFC 全等嗎？并說明理由；

(2)請問:當 x 3 時，PEC 與QFC 有沒有可能全等？若能，直接寫出符合條件的 t 的值；若不能，請說明 理由。

Answer 1

【答案】（1）6-t，8-2t；②△PEC≌△CFQ，理由見詳解；（2）當 x 3 時，△PEC≌△CFQ，時間可以為：s，；

【解析】

（1）①根據路程=速度×時間，即可解答；

②由運動的時間t=2，得到CP=CQ，然后由垂直定義和余角的性質，得到∠PEC=∠QFC=90°，∠PCE=∠CQF，根據AAS即可得到全等；

（2）根據題意，由△PEC與△QFC全等，得到PC=QC．即可分為三種情況進行①當P在AC上，Q在BC上時，先求出CQ=8-3t，可得6-t=8-3t；②當點P與點Q重合，6-t=3t-8；③當點P在BC上，點Q到點A時，此時有t-6=6；即可解答；

解：（1）①根據題意，當 x 2 時，運動時間為t 秒時，

有AP=t，BQ=2t，

∴CP=6-t，CQ=8-2t，

故答案為：6-t，8-2t；

②當 t 2 時，△PEC≌△CFQ；

理由如下：

當 t 2 時，

∴，

∵∠ACB=90°，

∴∠PCE+∠QCF=90°,

∵PE⊥ l 于 E，QF⊥ l 于 F，

∴∠PEC=∠QFC=90°，

∴∠QCF+∠CQF=90°，

∴∠PCE=∠CQF，

在△PEC和△CFQ中，

有，

∴△PEC≌△CFQ（AAS）；

（2）①當P在AC上，Q在BC上時，有，

∵△PEC≌△CFQ，

∴CP=CQ，

即：，

解得：，

②當點P與點Q重合，如圖2所示：

∴△PEC與△QFC全等，
∴6-t=3t-8．
解得：t=3.5．
③當點P在BC上，點Q到點A時，

此時：

∴t-6=6，
∴t=12，
即：滿足條件的時間為：1秒或3.5秒或12秒．

∴當 x 3 時，時間s，，有△PEC≌△CFQ；