Question

【題目】如圖已知拋物線y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交x軸于點A，交y軸于點B（0，3），頂點C位于第二象限，連接AB，AC，BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上是否存在點P，使得△PAB的面積等于△ABC的面積？如果存在，求出點P的坐標．

（3）將△ABC沿x軸向右移動t個單位長度（0＜t＜1）時，平移后△ABC和△ABO重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數關系．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點P的坐標為（﹣1，0）或（﹣5，0）；（3）

【解析】

（1）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出m的值，結合拋物線的頂點在第二象限可得出m＞1，進而可確定m的值，再將其代入拋物線解析式中即可得出結論；

（2）過點C作CD⊥x軸，垂足為點D，利用二次函數圖象上點的坐標特征及配方法，可求出點A，C的坐標，利用分割圖形求面積法可求出△ABC的面積，再由三角形的面積公式結合S△PAB＝S△ABC可求出AP的長，結合點A的坐標，即可求出點P的坐標；

（3）設△ABC平移后得到△A′B′C′，A′B′與y軸交于點M，A′C′交AB于點N，根據點的坐標，利用待定系數法可求出線段AB，AC所在直線的解析式，結合平移的性質可得出線段A′B′，A′C′所在直線的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點M，N的坐標，由三角形、梯形的面積公式結合S＝S△AOB﹣S△AA′N﹣S△AA′M，即可得出S關于t的函數關系式．

（1）∵拋物線y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交y軸于點B（0，3），

∴﹣m2+12＝3，

∴m＝±3．

又∵拋物線的頂點C位于第二象限，

∴﹣ ，

∴m＞1，

∴m＝3，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）過點C作CD⊥x軸，垂足為點D，如圖1所示．

當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴點A的坐標為（﹣3，0）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴點C的坐標為（﹣1，4），點D的坐標為（﹣1，0），

∴S△ABC＝S△ACD+S梯形CDOB﹣S△AOB，

＝ADCD+（OB+CD）OD﹣OAOB，

＝×2×4+×（3+4）×1﹣×3×3，

＝3．

∵S△PAB＝S△ABC，

∴APOB＝3，

∴AP＝2，

∴點P的坐標為（﹣1，0）或（﹣5，0）．

（3）設△ABC平移后得到△A′BC′，A′B′與y軸交于點M，A′C′交AB于點N，如圖2所示．

設線段AB所在直線的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將A（﹣3，0），B（0，3）代入y＝kx+b，得：

，解得： ，

∴線段AB所在直線的解析式為y＝x+3．

同理，可得出線段AC所在直線的解析式為y＝2x+6．

∵將△ABC沿x軸向右移動t個單位長度（0＜t＜1）得到△A′B′C′，

∴點A′的坐標為（t﹣3，0），線段A′B′所在直線的解析式為y＝x+3﹣t（0＜t＜1），線段A′C′所在直線的解析式為y＝2x+6﹣2t（0＜t＜1）．

當x＝0時，y＝x+3﹣t＝3﹣t，

∴點M的坐標為（0，3﹣t）．

將y＝x+3代入y＝2x+6﹣2t，整理，得：x+3﹣2t＝0，

解得：x＝2t﹣3，

∴點N的坐標為（2t﹣3，2t），

∴S＝S△AOB﹣S△AA′N﹣S△AA′M，

＝OAOB﹣AA′yA′﹣OA′OM，

＝×3×3﹣t2t﹣（3﹣t）（3﹣t），

＝﹣t2+3t．

∴S與t之間的函數關系式為S＝﹣ t2+3t（0＜t＜1）．