Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉.

（1）在圖1中，DE交邊AB于M，DF交邊BC于N，證明:DM＝DN；

（2）在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積；

（3）繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳情見解析；（2）四邊形DMBN面積不發生變化，面積為；（3）仍然成立，證明見解析.

【解析】

（1）連接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根據ASA證明△MBD≌△NCD，進而求證即可；

（2）根據全等得出△MBD與△NCD面積相等，求出四邊形DMBN的面積等于△BDC的面積，進而求解即可；

（3）連接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根據ASA證明△MBD≌△NCD，進而求證即可.

（1）如圖1，連接BD.

∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，

∵∠MDB+∠BDN=90°，∠CDN+∠BDN=90°

∴∠MDB=∠NDC，

在△MBD與△NCD中，

∵∠MDB=∠NDC，BD=DC，∠MBD=∠C，

∴△MBD≌△NCD，

∴DM=DN.

（2）四邊形DMBN面積不發生變化.

由（1）得△MBD≌△NCD，

∴S△MBD=S△NCD，

∴四邊形DMBN面積=S△DMB+S△BDN= S△CND+ S△BDN=S△ABC=.

（3）DM=DN仍然成立.

如圖2，連接BD，

∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC,∠BDC=90°，

∴∠DCB=∠DBC=45°，

∴∠DBM=∠DCN=135°，

∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，

∴∠CDN=∠BDM，

在△CDN與△BDM中，

∵∠CDN=∠BDM，DC=DB，∠DCN=∠DBM，

∴△CDN≌△BDM，

∴DM=DN.