Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點；D為邊上的動點.

（Ⅰ）如圖1，將對折，使得點B的對應點落在對角線上，折痕為，求此刻點D的坐標；

（Ⅱ）如圖2，將對折，使得點A的與點C重合，折痕交于點D，交于點E，求直線的解析式；

（Ⅲ）在坐標平面內，是否存在點P（除點B外），使得與全等？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，點P的坐標為，或

【解析】

（Ⅰ）根據題意由翻折可知：，并設，由勾股定理得：，即進行求解即可；

（Ⅱ）由題意設D點坐標為，由翻折可知：，，進而利用勾股定理與待定系數法即可求出直線的解析式；

（Ⅲ）根據題意將點P在不同象限進行分類，根據全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點P的坐標．

解：（Ⅰ）∵在矩形中，點，點；

∴，；

在中，

由翻折可知：

∴，，

設，則

在中，，

由勾股定理得：，即

解得：.

∵點D在邊上，

∴D點坐標為.

（Ⅱ）設D點坐標為

則，

由翻折可知：，，

在中，由勾股定理得：，即

解得：

∴

設直線的解析式為，

則，解得，

∴直線的解析式為.

（Ⅲ）存在點P（除點B外），使得與全等，理由如下：

①當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0），

②當點P在第一象限時，如圖作交AB 于H，

在Rt△ADP中，,

由得，有P的橫軸坐標為：，

將代入的解析式，得到P的縱軸坐標為：，此時點P的坐標為；

③當點P在第一象限時，如圖作交OC 于G，

同理可得：,

由勾股定理可得：解得，

即有，所以此時點P的坐標為；

綜上符合條件的點P的坐標為，或.