Question

6．如圖，CD是圓O的弦，AB是直徑，且CD⊥AB，垂足為P．
（1）求證：PC²=PA•PB；
（2）PA=6，PC=3，求圓O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BC，結合條件和垂徑定理可證明△APC∽△CPB，利用相似三角形的性質可證得PC²=PA•PB；
（2）把PA、PC的長代入（1）中的結論，可求得PB，則可求得AB的長．

解答 （1）證明：
如圖，連接AC、BC，

∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CAB=∠BCP，
∵∠CPA=∠CPB=90°，
∴△APC∽△CPB，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PC}{PB}$，即PC²=PA•PB；
（2）解：
將PA=6，PC=3，代入PC²=PA•PB，可得3²=6PB，
∴PB=1.5，
∴AB=PA+PB=6+1.5=7.5，
即圓的直徑為7.5．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質及垂徑定理，利用條件構造三角形相似是解題的關鍵．