Question

【題目】如圖，對稱軸為直線的拋物線與軸交于、，與軸交于點，拋物線頂點為，直線交軸于點．

（1）求拋物線函數表達式；

（2）若點是位于直線下方拋物線上的一動點，以、為相鄰的兩邊作平行四邊形，當平行四邊形的面積最大時，求此時平行四邊形的面積及點的坐標；

（3）在線段上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）平行四邊形PBFD的面積S為2，P（2，-3）；（3）存在．點G的坐標為．

【解析】

（1）先設拋物線的頂點式，然后利用待定系數法，即可求出解析式；

（2）根據題意，先求出BD的解析式，當PF的值最大時，面積取到最大值，即可得到答案；

（3）先證明，設點G的坐標為，利用三角函數值，求出t的值，即可得到點G的坐標．

解：（1）設拋物線為

把A（1，0），C（0，3）代入得

得：，

，

即；

（2）設直線BD為y＝kx+b，如圖，過點P作PF⊥x軸交直線BD于F，

將點（1，4）、（3，0）代入y＝kx+b中，

解得，k＝2，b＝6，

∴BD解析式為y＝2x-6，

設點P（a，a2-2a-3），則F（a，2a-6），

則PF＝2a-6-（a2-2a-3）

＝-a2+4a-3

當a＝2時，PF有最大長度1，

∴S△PBD最大＝S△PBF+S△PDF

＝PF2=1

∴以PB、PD為相鄰的兩邊作平行四邊形PBFD，當平行四邊形MANB的面積最大時，

S最大＝2S△PBD最大＝2×1＝2，

∴P（2，-3）；

（3）存在．如圖2，

由B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）可知，

BC=，CD=，BD=，

∵，即，

∴，

∴，

∵點G在線段BD上，所以設點G的坐標為，

過點G作GH⊥y軸于點H，當tan∠GCH=3時，∠BDC=∠GCE，

解得：

∴，

∴點G的坐標為：．