Question

【題目】（1）嘗試探究

如圖①，在中，，，點，分別是邊上的點，且．

①的值為________；

②直線與直線的位置關系為________；

（2）類比延伸

如圖②，若將圖①中的繞點順時針旋轉，連接，則在旋轉的過程中，請判斷的值及直線與直線的位置關系，并說明理由；

（3）拓展運用

若，在旋轉過程中，當三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2），，見解析；（3）或

【解析】

（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求得的值；②根據(jù)可得；（2）和分別在和中，利用“兩邊對應成比例且夾角相等”證得兩個三角形相似，即可求得的值，進而通過等角的代換即可證得；（3）分點在之間和點在之間兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．

解：（1）①；

②；

[解法提示]∵在中，，，，∴，

∴，

∴，

∴，

∵點分別是邊，上的點，，

∴，∴．

（2）；；

理由如下：由（1）及旋轉的性質(zhì)知，，

．

在中，，

在中，，

∴，

又∵，

，

∴，

∴，

∴．

如圖①，延長交于點，交于點，

圖①

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，即；

（3）或．

[解法提示]①如圖②，當點在之間時，由（2）可得，

圖②

∴．

設，則，

∵點在一條直線上，

∴，

∵，∴，

在中，，

∴，

解得或（舍去），

∴；

②如圖③，當點在之間時，同理可得，，

圖③

∵，

∴，

在中，，

解得或（舍去），

∴．

綜上所述，的長為或．