Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c的頂點(diǎn)為C(3，4)，交x軸于點(diǎn)A，B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，點(diǎn)P在第一象限，且在拋物線AC部分上，PD⊥PC交x軸于點(diǎn)D。

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）若PD=3PC，求OD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+6x-5；（2）OD= 5.

【解析】

（1）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，現(xiàn)知a值，直接用頂點(diǎn)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（p，-+6p-5）(1≤p≤3)，先證明△Rt△PCF∽Rt△PED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式，求出p值，然后根據(jù)C、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求得CF的長(zhǎng)，則由相似的性質(zhì)即可得出ED的長(zhǎng)，則OD的長(zhǎng)可知.

解：

（1）由題意得，y=-(x-3)2+4=-x2+6x-5；

（2）設(shè)y=-x2+6x-5=(x-1)(-x+5)=0，

解得x=1或5，

∴A（1，0），B（5，0），

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)P作PF平行x軸交對(duì)稱軸于F，

設(shè)P（p，-p2+6p-5）(1≤p≤3)，

∴∠PFC=∠PED=90°

∵∠CPF+∠FPD=∠EPD+∠FPD=90°，

∵∠CPF=∠DPE，

∴∠PFC=∠PDE，

又∵∠PFC=∠PED=90°

∴Rt△PCF∽Rt△PDE，

∴ ，

∴，ED=3CF

整理得p2-9p+14=0，

(p-2)(p-7)=0，

∴p=2, 或P=7（舍去），

∴P（2，3），

CF=yC-yF=4-3=1，

∴ED=3CF=3，

∴OD=OE+ED=2+3=5.