Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，B(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C.

(1)如圖1，點P，Q都在直線BC上方的拋物線上，且點P的橫坐標比點Q的橫坐標小1，直線PQ與x軸交于點D，過點P，Q作直線BC的垂線，垂足分別為點E，F.當PE+QF的值最大時，將四邊形PEFQ沿射線PQ方向平移，記平移過程中的四邊形PEFQ為P1E1F1Q1，連接CP1，P1F1，求CP1+P1F1+Q1D的最小值，并求出對應的點Q1的坐標.

(2)如圖2，對于滿足(1)中條件的點Q1，將線段AQ1繞原點O順時針旋轉90°，得線段A1Q2，點M是拋物線對稱軸上一點，點N是坐標平面內一點，點N1是點N關于直線A1Q2的對稱點，若以點A1，Q1，M，N1為頂點的四邊形是一個矩形，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標.

Answer 1

【答案】(1)CP1+P1F1+Q1D的最小值＝6，Q1(3，2)；(2)N的坐標為()或()，()或().

【解析】

(1)如圖1，過P作PL∥y軸交直線BC于L，過Q作QS∥y軸交BC于S，由拋物線解析式可求與xy軸交點，即可求出BC點坐標，進而求出直線BC解析式，設P(t，﹣t2+2t+3)，則L(t，﹣t+3)，Q(t+1，﹣t2+4)，S(t+1，﹣t+2)，將PE+QF轉化為(PL+QS)，得到關于t的二次函數解析式即可求出當t＝1時，PE+QF最小，此時P(1，4)，Q(2，3)，E點與C點重合，F點坐標為(1，2)，PQ與BC平行.四邊形PEFQ是正方形，進而得出P1F1＝PF＝2，CP1＝FQ1，作D(5，0)作DH⊥x軸，過Q1作Q1H⊥DH，可得Q1H＝ Q1D，故當點F、Q1、H三點在同一直線上，FQ1H⊥DH軸時，FQ1+Q1H最小，即CP1+P1F1+Q1D的值最小，由點F坐標(1，2)可得Q1(3，2)，H(5，2)，FH＝4.即可解題.

(2)根據旋轉90°點坐標變化規律可知A1(0，1)，Q2(2，﹣3).根據拋物線解析式可得拋物線對稱軸為x＝1，設M為(1，m)，可得A1M2＝m2﹣2m+2，A1Q22＝10，MQ22＝m2﹣4m+8，分三種情況求出M，進而根據平移求出N1，再根據直線對稱求出對稱點連線與對稱軸交點，即對稱點連線的中點求出點N坐標即可.

解：(1)如圖1，過P作PL∥y軸交直線BC于L，過Q作QS∥y軸交BC于S，

拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，B(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C.

∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)；

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

設P(t，﹣t2+2t+3)，則L(t，﹣t+3)，Q(t+1，﹣t2+4)，S(t+1，﹣t+2)，

PL＝﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t2+3t，QS＝﹣t2+4﹣(﹣t+2)＝﹣t2+t+2，

∵PE⊥BC，QF⊥BC，PL∥y軸，QS∥y軸

∴∠PEL＝∠QFS＝∠BOC＝90°，∠PLE＝∠QSF＝∠BCO＝45°

∴＝，＝，

∴ (﹣t2+t+2)＝

∵，0＜t＜3，

∴當t＝1時，PE+QF有最大值為，此時P(1，4)，Q(2，3)，

∴直線PQ解析式為y＝﹣x+5，PQ＝.H(0，5)，D(5，0)

∴BD＝2

如圖2，過B作BB′⊥PQ于B′，在Rt△BB′D中，BB′＝BDsin∠BDB′＝2sin45°＝，

∴PE＝QF＝P1E1＝Q1F1＝BB′＝ (平行線間距離相等)

∴PQ＝QF

∵QF⊥BC，BC∥PQ，

∴QF⊥PQ，

∴四邊形PEFQ是正方形，

∵∠QEP＝∠EPQ＝45°，

∴E點與C點重合，F點坐標為(1，2)

由平移知P1E1F1Q1與正方形PEFQ是全等形，

∴P1F1＝PF＝2.易證Rt△CPP1≌Rt△FQQ1，

∴CP1＝FQ1

作D(5，0)作DH⊥x軸，過Q1作Q1H⊥DH，

∵∠HDQ1＝45°，

∴Q1H＝Q1D，

當點F、Q1、H三點在同一直線上，FQ1H⊥DH軸時，FQ1+Q1H最小，即CP1+P1F1+Q1D的值最小，

∵此時，F點坐標為(1，2)，Q1(3，2)，(5，2)，FH＝4.

∴CP1+P1F1+Q1D的最小值＝4+2＝6，Q1(3，2).

(2)如圖3，將線段AQ1繞原點O順時針旋轉90°得線段A1Q2，根據旋轉90°點坐標變化規律可知A1(0，1)，Q2(2，﹣3).

∵拋物線對稱軸為x＝＝1，設M(1，m)，∴A1M2＝(1﹣0)2+(m﹣1)2＝m2﹣2m+2

A1Q22＝(0﹣3)2+(1﹣2)2＝10

MQ22＝(1﹣3)2+(m﹣2)2＝m2﹣4m+8

若A1M為斜邊，則由題意得：，

10+m2﹣4m+8＝m2﹣2m+2

解得：m＝8，

M1(1，8)

若Q2M為斜邊則由題意得：，

m2﹣2m+2+10＝m2﹣4m+8

m＝﹣2，

∴M2(1，﹣2)

若A1Q2為斜邊，則由題意得：，

即：(m2﹣2m+2)+(m2﹣4m+8)＝10.

解得m＝0或m＝3，

即∴M3(1，0)或M4(1，3).

∵四邊形A1MQ1N1是矩形，

∴根據點的平移可知N1坐標為(﹣2，7)或(4，﹣1)或(1，0)或(1，3)，

∵N'1與N'關于直線A1Q2對稱，

∴N'1N'⊥A1Q2，T為N'1N'中點，

由點坐標可求直線A1Q2解析式為：y＝﹣2x+1，

直線N'1N'解析式為：y＝+8，

故T坐標為(，)，

∴N'坐標為()

同理可得N“為()，()或()

綜上所述：N的坐標為()或()，()或().