Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長是5，點O在AD上，且⊙O的直徑是4．

(1)正方形的對角線BD與半圓O交于點F，求陰影部分的面積；

(2)利用圖判斷，半圓O與AC有沒有公共點，說明理由．(提示：≈1.41)

(3)將半圓O以點E為中心，順時針方向旋轉．

①旋轉過程中，△BOC的最小面積是　　；

②當半圓O過點A時，半圓O位于正方形以外部分的面積是　 　．

Answer 1

【答案】(1)π﹣2；(2)半圓O與AC沒有公共點．理由見解析；(3)① ；②2π﹣ ．

【解析】

（1）連接OF，如圖1，先證明△ODF為等腰直角三角形得到∠DOF=90°，如何根據扇形面積公式，利用S陰影部分=S扇形DOF-S△DOF進行計算；

（2）如圖2，作OH⊥AC于H，先證明△OAH為等腰直角三角形，則OH=OA≈2.13，然后比較OH與半徑的大小關系可判斷半圓O與AC的位置關系；

（3）①如圖3，作EM⊥BC于M，當點O到BC的距離最小，此時△ABC的面積最小，易得點O到BC的最小距離為3，然后根據三角形面積公式計算；

②當半圓O過點A時，根據圓周角定理的推論可判定點D落在AB上的點D′處，如圖4，利用勾股定理計算出AD′=，然后利用半圓面積減去△AED′的面積即可得到半圓O位于正方形以外部分的面積．

(1)連接OF，如圖1，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ADB＝45°，

∵OF＝OD，

∴△ODF為等腰直角三角形，

∴∠DOF＝90°，

∴S陰影部分＝S扇形DOF﹣S△DOF＝﹣×2×2＝π﹣2；

(2)半圓O與AC沒有公共點．理由如下：

如圖2，作OH⊥AC于H，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠DAC＝45°，

∴△OAH為等腰直角三角形，

∴OH＝OA＝×3≈2.13，

∵OH＞2，

∴AC與半圓O相離，

即半圓O與AC沒有公共點；

(3)①如圖3，作EM⊥BC于M，

當點O落在EM上的O′處時，點O到BC的距離最小，此時△ABC的面積最小，

所以△BOC的最小面積＝×5×(5﹣2)＝；

②當半圓O過點A時，即點A在半圓上，而∠A＝90°，

所以點D落在AB上的點D′處，如圖4，

在Rt△AED′中，AD′＝＝＝，

所以半圓O位于正方形以外部分的面積＝π22﹣×1×＝2π﹣．

故答案為；2π﹣．