Question

【題目】如圖，直線分別與軸、軸交于兩點，點在軸上，，拋物線經過兩點．

（1）求兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點是直線上方拋物線上的一點，過點作于點，作軸交于點，求周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）由直線解析式可求得B、C坐標，在Rt△BOC中由三角函數定義可求得∠OCB＝60°，則在Rt△AOC中可得∠ACO＝30°，利用三角函數的定義可求得OA，則可求得A點坐標；
（2）由A、B兩點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（3）由平行線的性質可知∠MDH＝∠BCO＝60°，在Rt△DMH中利用三角函數的定義可得到DH、MH與DM的關系，可設出M點的坐標，則可表示出DM的長，從而可表示出△DMH的周長，利用二次函數的性質可求得其最大值．

解：（1）直線分別與軸、軸交于兩點，

當x=0時，y=，當y=0時，x=3，

，，

，，

，

，

，即，解得，

；

（2）拋物線經過兩點，將與代入得：

，解得，

拋物線解析式為；

（3）軸，，

，則，

，，

的周長，

當有最大值時，其周長有最大值，

點是直線上方拋物線上的一點，

設，則，

，

當時，有最大值，最大值為，

此時，

即周長的最大值為．