Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B（2，0）兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，8）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若將該拋物線向下平移m個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；

（3）已知點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）3＜m＜9；（3）滿足條件的點Q為（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+，0）或（3﹣，0）．

【解析】試題分析：（1）把點B和點C的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程組，從而可求得b、c的值，然后可得到拋物線的解析式；

（2）平移后拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+9﹣m，然后求得直線AC的解析式y=2x+8，當x=﹣1時，y=6，最后由拋物線的頂點在△ABC的內部可得到0＜9﹣m＜6，從而可求得m的取值范圍；

（3）設點Q的坐標為（a，0），點P（x，y）．分為AC為對角線、CP為對角線、AQ為對角線三種情況，依據平行四邊形對角相互平分的性質和中點坐標公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后將點P的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而可得到點Q的坐標．

試題解析：（1）把點B和點C的坐標代入拋物線的解析式得： ，解得： ，

∴y=﹣x2﹣2x+8．

（2）y=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，

∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+9﹣m．

∵拋物線的對稱軸為x=﹣1，點B（2，0），

∴A（﹣4，0）．

設直線AC的解析式為y=kx+8，將點A的坐標代入得：﹣4k+8=0，解得k=2，

∴直線AC解析式為y=2x+8．

當x=﹣1時，y=6．

∵拋物線的頂點落在△ABC的內部，

∴0＜9﹣m＜6．

∴3＜m＜9．

（3）設點Q的坐標為（a，0），點P（x，y）．

①當AC為對角線時．

∵四邊形APCQ為平行四邊形，

∴AC與PQ互相平分．

依據中點坐標公式可知： = ， ．

∴x=﹣4﹣a，y=8．

∵點P在拋物線上，

∴﹣（a+4）2﹣2（﹣4﹣a）=0，解得：a=﹣2或a=﹣4（舍去）

∴點P的坐標為（﹣2，0）．

②當CP為對角線時，

∵四邊形APCQ為平行四邊形，

∴CP與AQ互相平分．

依據中點坐標公式可知： ， ，

∴x=a+4，y=8．

∵點P在拋物線上，

∴﹣（a+4）2﹣2（a+4）=0，解得：a=﹣6或a=﹣4（舍去）

∴點P的坐標為（﹣6，0）．

③AQ為對角線時．

∵四邊形APCQ為平行四邊形，

∴AQ與CP互相平分．

依據中點坐標公式可知： ， ，

∴x=﹣4+a，y=﹣8．

∵點P在拋物線上，

∴﹣（a﹣4）2﹣2（a﹣4）+16=0，整理得：a2﹣6a﹣8=0，解得：a=3+或a=3﹣．

∴點Q的坐標為（3+，0）或（3﹣，0）．

綜上所述滿足條件的點Q為（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+，0）或（3﹣，0）．