Question

【題目】定義：如果兩個全等的三角形有一條公共邊且位于公共邊的異側，我們稱這兩個三角形成軸全等，公共邊所在直線稱為全等軸．

（1）已知在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、B、C的坐標分別為（4，7）、（0，4）、（4，2），若△ACD與△ABC成軸全等，全等軸為直線AC，請直接寫出D點坐標．

（2）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC兩個頂點B、C坐標分別為（-14，0）、（，0），∠ABC＝45°，AC與y軸交于點E，點E的坐標為（0，），點F是OC上一點，坐標為(10，0) ．如果M、N為△ABC的邊上的兩點，是否存在△OMN與△OFM以OM所在直線為全等軸的軸全等？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（8,4）或（8,5）；（2）①（10，5），②（，） 或∴（，10），③（0，），（，）

【解析】

（1）根據軸對稱圖形的性質來解題即可.；

（2）根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解題即可.

（1）（8,4）或（8,5）

（2）由定義可知：△OMN與△OFM關于OM成軸對稱或△OMN與△OFM關于OM的中點成中心對稱

當△OMN與△OFM關于關于OM成軸對稱時：ON=OF=10

①N在AC上時，ON⊥AC，∵△OMN△OFM

∴∠OFM=∠ONM=90°,

∴點M的橫坐標為10，

又AC解析式為：

∴（10，5）

②N在AB上時，ON=10

過N作NH⊥BC，垂足為H

設OH=x,則BH=NH=14-x

由勾股定理可得：

解得：x=6或8

∴N（-6，8）或（-8,6）

∴N，F中點G為（2,4）或（1,3）

∴OG解析式為：或

∴（，） 或∴（，10）

③ N在BC上時，M與E重合

∴（0，）

當△OMN與△OFM關于OM的中點成中心對稱時MN∥OF，MN=OF=10時，N在AB上，M在AC上，

設M的坐標為（）

則N的坐標為（）

將N代入AB解析式：

解得：

∴（，）