Question

【題目】（2017廣東省廣州市，第24題，14分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△COD關于CD的對稱圖形為△CED．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）連接AE，若AB=6cm，BC=cm．

①求sin∠EAD的值；

②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接OP，一動點Q從點O出發，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P，再以1.5cm/s的速度沿線段PA勻速運動到點A，到達點A后停止運動，當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全程所需的時間．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②AP的長為，點Q走完全程所需的時間為3s．

【解析】

（1）只要證明四邊相等即可證明；

（2）①設AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出==，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，可以求出AK的長，根據sin∠DAE=計算即可解決問題；

②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE=AP，因為點Q的運動時間t==OP+AP=OP+PF，所以當O、P、F共線時，OP+PF的值最小，此時OF是△ACD的中位線，由此即可解決問題．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴OD=OB=OC=OA，

∵△EDC和△ODC關于CD對稱，

∴DE=DO，CE=CO，

∴DE=EC=CO=OD，

∴四邊形CODE是菱形．

（2）①設AE交CD于K．

∵四邊形CODE是菱形，

∴DE∥AC，DE=OC=OA，

∴==．

∵AB=CD=6，

∴DK=2，CK=4，

在Rt△ADK中，AK= = =3，

∴sin∠DAE==；

②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE=AP，

∵點Q的運動時間t==OP+AP=OP+PF，

∴當O、P、F共線時，OP+PF的值最小，此時OF是△ACD的中位線，

∴OF=CD=3．AF=AD=，PF=DK=1，

∴AP= =，

∴當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，AP的長為，點Q走完全程所需的時間為3s．