Question

【題目】如圖，拋物線L: （常數t＞0）與x軸從左到右的交點為B，A，過線段OA的中點M作MP⊥x軸，交雙曲線于點P，且OA·MP=12.

（1）求k值；

（2）當t=1時，求AB長，并求直線MP與L對稱軸之間的距離；

（3）把L在直線MP左側部分的圖象（含與直線MP的交點）記為G，用t表示圖象G最高點的坐標；

（4）設L與雙曲線有個交點的橫坐標為x0，且滿足4≤x0≤6，通過L位置隨t變化的過程，直接寫出t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）；（3）當t-2≤，即t≤4時，頂點（t-2，2）就是G的最高點；當t＞4時，L與MP的交點（）就是G的最高點.（4）.

【解析】

試題分析：（1）設設點P（x，y），則MP=y，由OA的中點為M知OA=2x，代入OA·MP=12，即可得xy=6，即k=6；（2）當t=1時，令y=0,0=，解得.即可得AB=4，求得拋物線的對稱軸，根據點M的坐標即可得直線MP與L對稱軸之間的距離；（3）由拋物線的解析式可得A（t，0），B（t-4,0），即可得拋物線的對稱軸為x=t-2，又因MP為直線x=，當t-2≤，即t≤4時，頂點（t-2，2）就是G的最高點；當t＞4時，L與MP的交點（）就是G的最高點.（4）對雙曲線，當4≤x0≤6時，1≤y≤，即L與雙曲線C（4，），D（6,1）之間的一段有個交點.①由=，解得；②由1=，解得；隨著t的逐漸增大，L的位置隨著點A（t，0）向右平移，如圖3所示.當t=5時，L右側過點C；當時，L右側過點D；即.當時，L右側離開了點D，而左側未到點C，即L與該段無交點，舍去.當t=7時，L左側過點C；當時，L左側過點D；即.

試題解析：（1）設點P（x，y），則MP=y，

由OA的中點為M知OA=2x，代入OA·MP=12，

得，即xy=6，

∴k=xy=6.

（2）當t=1時，令y=0,0=，∴.

∴由B在A的左邊，得B（-3,0），A（1,0），∴AB=4.

∵L的對稱軸為x=-1，而M（，0），

∴MP與L對稱軸的距離為.

（3）∵A（t，0），B（t-4,0），

∴L的對稱軸為x=t-2，

又MP為x=，

當t-2≤，即t≤4時，頂點（t-2，2）就是G的最高點；

當t＞4時，L與MP的交點（）就是G的最高點.

（4）.