Question

【題目】如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，與⊙O相交于點P，OA＝5．C是直線l上一點，連接CP并延長，交⊙O于點B，且AB＝AC．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若tan∠ACB＝，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OB，由等腰三角形的性質可得∠ACB＝∠ABC，∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，由余角的性質可求∠ABO＝90°，可得結論；

（2）過點O作OD⊥BP于D，設AP＝x，AC＝2x，由勾股定理可求AP＝2，AC＝4，由勾股定理可求CP的長，通過證明△ACP∽△DOP，可求PD的長，由等腰三角形的性質可求BP的長．

證明：（1）連接OB，則OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵OA⊥l，

∴∠OAC＝90°，

∴∠ACB+∠CPA＝90°，

∴∠ABP+∠OBP＝90°，

∴∠ABO＝90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）如圖，過點O作OD⊥BP于D，

∵tan∠ACB＝，

∴設AP＝x，AC＝2x，

∴AB＝2x，OP＝OB＝5﹣x，

∵AO2＝OB2+AB2，

∴25＝（5﹣x）2+4x2，

∴x＝2，

∴AP＝2，AC＝4

∴OB＝OP＝3，

∴CP＝ ，

∵∠CAP＝∠ODP＝90°，∠APC＝∠OPD，

∴△ACP∽△DOP，

∴ ，

∴PD＝ ，

∵OB＝OP，OD⊥BP，

∴BP＝2PD＝ ．