Question

【題目】在△ABC中，CD是△ABC的中線，如果上的所有點都在△ABC的內部或邊上，則稱為△ABC的中線弧．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中點．

①如圖1，若∠A＝45°，畫出△ABC的一條中線弧，直接寫出△ABC的中線弧所在圓的半徑r的最小值；

②如圖2，若∠A＝60°，求出△ABC的最長的中線弧的弧長l．

（2）在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中點．求△ABC的中線弧所在圓的圓心P的縱坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①圖見解析，，②；（2）t≥5或t≤﹣

【解析】

（1）①如圖1中，當中線弧的圓心是AC或BC的中點時，所在圓的半徑r的最小．

②如圖2中，當中線弧所在的圓與AC，AB都相切時，的弧長最大．

（2）分兩種情形：如圖3中，若中線弧在 線段CD的下方時，如圖4中，若中線弧在 線段CD的上方時，分別求解即可解決問題．

解：（1）①如圖1中，當直線弧的圓心是AC或BC的中點時，所在圓的半徑r的最小，

當∠A＝45°，

此時r＝AC＝，

∴△ABC的中線弧所在圓的半徑r的最小值為．

②如圖2中，當中線弧所在的圓與AC，AB都相切時，的弧長最大，

此時，的圓心在BC上，

∵ND⊥BD，

∴∠NDB＝90°，

∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝30°，

∴BN＝2DN＝2CN，

∴3CN＝BC＝，

∴CN＝，

∴半徑為．

∴△ABC的最長的中線弧的弧長l；

（2）如圖3中，若中線弧在 線段CD的下方時，

∵△ABC的中線弧所在的圓的圓心在線段CD使得垂直平分線上，

當中線弧所在圓與BC相切時，可得P（0，5），

觀察圖象可知中線弧所在圓的圓心P的縱坐標t≥5．

如圖4中，若中線弧在 線段CD的上方時，

當中線弧所在圓與AC相切時，可得P（，﹣），

觀察圖象可知中線弧所在圓的圓心P的縱坐標t≤﹣．

綜上所述，中線弧所在圓的圓心P的縱坐標t的取值范圍為：t≥5或t≤﹣．