Question

在梯形ABCD中，AD∥BC．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點E、F分別在AD、DC上（點E與A、D不重合）；且∠BEF=120°，設AE=x，DF=y．
（1）求BC邊的長；
（2）求出y關于x的函數關系；
（3）利用配方法求x為何值時，y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

（1）過A點作AG∥CD交BC于G點，
∵AD∥BC，
∴四邊形AGCD為平行四邊形，
∴AD=CG，AB=CD=AG，又∠ABC=60°，
∴△ABG為等邊三角形，
∴BG=AB，
∴BC=BG+CG=AB+AD=12；

（2）根據等腰梯形的性質，得∠A=∠D=120°，
根據三角形外角定理，得∠BED=∠ABE+∠A，
即120°+∠DEF=∠ABE+120°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴

AB

DE

=

AE

DF

，即

6

6-x

=

x

y

，
解得y=-

1

6

x²+x；

（3）∵y=-

1

6

x²+x=y=-

1

6

（x-3）²+

3

2

，且-

1

6

＜0，
∴當x=3時，y_最大值=

3

2

．