Question

閱讀材料：求1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³的值．
解：設S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹²＋2²⁰¹³，將等式兩邊同時乘以2得：
2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2²⁰¹³＋2²⁰¹⁴
將下式減去上式得2S﹣S＝2²⁰¹⁴﹣1
即S＝2²⁰¹⁴﹣1
即1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³＝2²⁰¹⁴﹣1
請你仿照此法計算：
（1）1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰
（2）1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3ⁿ（其中n為正整數）．

Answer 1

（1）2¹¹－1；（2）（3ⁿ⁺¹﹣1）．

解析試題分析：（1）設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，兩邊乘以2后得到關系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．
試題解析：（1）設S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰，
將等式兩邊同時乘以2得2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰＋2¹¹，
將下式減去上式得：2S﹣S＝2¹¹－1，即S＝2¹¹－1，
則1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰＝2¹¹－1；
（2）設S＝1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3ⁿ，
兩邊乘以3得：3S＝3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3ⁿ＋3^n＋1，
下式減去上式得：3S－S＝3^n＋1－1，
即S＝ (3^n＋1－1)，則1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=（3ⁿ⁺¹﹣1）．
考點：同底數冪的乘法．