Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，，交軸于點，對稱軸是直線．

(1)求拋物線的解析式及點的坐標；

(2)連接，是線段上一點，關于直線的對稱點正好落在上，求點的坐標；

(3)動點從點出發，以每秒2個單位長度的速度向點運動，過作軸的垂線交拋物線于點，交線段于點．設運動時間為秒．

①若與相似，請直接寫出的值；

②能否為等腰三角形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；；(2)；(3)①；②秒或秒.

【解析】

(1)將、的坐標代入中，即可求解；

(2)確定直線的解析式為，根據點、關于直線對稱，即可求解；

(3)①與相似，則或，即可求解；②分、、三種情況，分別求解即可．

解：(1))∵點、關于直線對稱，，

∴，，

代入中，得：，解得，

∴拋物線的解析式為，

∴點坐標為；

(2)如圖，連接BC，

設直線的解析式為，

則有：，解得，

∴直線的解析式為，

∵點、關于直線對稱，

又到對稱軸的距離為1，

∴，

∴點的橫坐標為2，將代入中，

得：，

∴；

(3)①如下圖，

，，

與相似，則或，

即：或，

解得：或或3或1(舍去、、3)，

故：；

②∵，軸，

∴，

∵為等腰三角形，

∴分三種情況討論，

第一種，當時，

∵，

∴，

∴，

∴；

第二種，當時，在中，

∵，

∴，

∴，

即，

∴；

第三種，當時，

則點、重合，此時，

而，故不符合題意，

綜上述，當秒或秒時，為等腰三角形．