Question

【題目】已知關于x的二次函數y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）

（1）若二次函數的圖象與x軸有交點，求a的取值范圍；

（2）若P（m，n）和Q（5，b）是拋物線上兩點，且n＞b，求實數m的取值范圍；

（3）當m≤x≤m+2時，求y的最小值（用含a、m的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）a≥；（2）m＜﹣1或m＞5；（3）y的最小值為：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．

【解析】

（1）令對應一元二次方程根的判別式大于等于0，然后解答即可；

（2）根據拋物線的對稱軸為直線x=，當n=b時，根據函數的對稱性，可得m=-1，最后確定m的取值范圍即可；

（3）分m<0，0≤m≤2，m>2三種情況別求解即可．

解：（1）由題意得：

△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，

解得：a≥；

（2）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝2，

當n＝b時，根據函數的對稱性，則m＝﹣1或m=5，

故實數m的取值范圍為：m＜﹣1或m＞5；

（3）①當m+2＜2時，即m＜0時，

函數在x＝m+2時，取得最小值，

ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；

②當m≤2≤m+2時，即0≤m≤2，

函數在頂點處取得最小值，

即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；

③當m＞2時，

函數在x＝m時，取得最小值，

ymin＝am2﹣4am+a+1；

綜上，y的最小值為：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．