Question

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，OB=2，OA⊥OB，P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于點Q，過點Q的⊙O的切線交OA延長線于點R．
（Ⅰ）求證：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PQ，求PQ的長．

Answer 1

（1）連接OQ，
∵QR是切線，
∴∠OQR=90°，
∴∠BQO+∠PQR=90°，
∵OA⊥OB，∴∠BOA=90°，
∴∠B+∠BPO=90°，又∠BPO=∠RPQ，
∴∠B+∠RPQ=90°，
由OB=OQ得：∠B=∠BQO，
∴∠RPQ=∠RQP，
∴PR=QR；

（2）∵OP=PQ，∴∠POQ=∠PQO，
又OB=OQ，∴∠B=∠PQO，
設∠B=∠PQO=∠POQ=x，又∠BOP=90°，
根據三角形內角和定理得：
∠B+∠BOP+∠POQ+∠PQO=180°，即x+90°+x+x=180°，
解得：x=30°，即∠B=30°（2分）
∴∠RPQ=∠BPO=60°，又PR=QR，
∴△PQR為等邊三角形，即PQ=QR=PR，
在直角三角形OQR中，OQ=OB=2，
根據銳角三角函數定義得：
PQ=QR=OQ•tan30°=

2

3

3

．（2分）