Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AD、AE分別平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分別交圓于點D、F，連接DE，CD，DE與BC相交于點G．

（1）求證：DE是△ABC的外接圓的直徑；

（2）設OG=3，CD=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）5

【解析】

試題（1）根據條件AD、AE分別平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，證明∠2+∠3=90°即可；

（2）由∠1=∠2得出點D為弧BC的中點，從而得出DE垂直平分BC，連接BE，設圓的半徑為r，然后證明△CDG∽△EBG，利用相似三角形的性質和勾股定理可求出r的值．

試題解析：（1）因為AD、AE分別是∠BAC和∠BAF的平分線

所以∠1=∠2＝∠BAC, ∠3=∠EAF＝∠BAF,

所以∠2＋∠3＝（∠BAC＋∠BAF），

因為∠BAC＋∠BAF＝180°，

所以∠2＋∠3＝90°，

所以∠EAD＝90°，

所以DE是圓O的直徑；

（2）因為∠1=∠2，所以，又DE是△ABC的外接圓的直徑，所以DE垂直平分BC，連接BE，則∠BEG=∠DCG，又∠BGE=∠DGC,所以△CDG∽△EBG，所以,設圓的半徑為r，所以，又BG=CG，所以,在Rt△CDG中，由勾股定理可得：，解得r=5或r=-2（舍去），所以r=5．