Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據勾股定理得：BA=

分兩種情況討論：

①當△BPQ∽△BAC時， ，

∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，

∴ ，解得，t=1，

②當△BPQ∽△BCA時， ，

∴ ，解得，t= ；

∴t=1或 時，△BPQ∽△BCA

（2）解：過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，如圖所示：

則PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM，

∵∠ACQ=∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴ ，

∴ ，解得t= ．

【解析】（1）分兩種情況：①當△BPQ∽△BAC時，BP：BA=BQ：BC；當△BPQ∽△BCA時，BP：BC=BQ：BA，再根據BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可；（2）過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根據△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入計算即可．