Question

如圖1，平面直角坐標系上有一透明片，透明片上有一拋物線是一點P（2，4），且拋物線為二次函數y=（x-a）2+

a

2

的圖形，當a取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”，它們的頂點在一條直線l上，如圖2分別是當a=-1，a=0，a=1，a=2時二次函數的圖象．
（1）直線l的解析式是y=

 

；
（2）將此透明片上的拋物線頂點沿直線l平移后，得拋物線的頂點坐標為（6，3），若平移后的點P記為P₁，則此時P₁的坐標為

 

；
（3）將此透明片上的拋物線頂點沿直線l平移線段OP長時，求此時的二次函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）先把a=0和a=1代入y=（x-a）2+

a

2

得到兩個頂點坐標，然后利用待定系數法求出直線l的解析式為y=

1

2

x；
（2）先通過頂點（0，0）平移到（6，3）得到平移的方向和平移的單位，然后把點（2，4）按同樣的方法進行平移即可得到P₁的坐標；
（3）先利用兩點的距離公式計算出OP=2

5

，再確定直線l上到原點的距離為2

5

的點，然后利用頂點式寫出對應的拋物線解析式即可．

解答：解：（1）當a=0時，y=x²，頂點坐標為（0，0），
當a=1時，y=（x-1）²+

1

2

，頂點坐標為（1，

1

2

），
設直線l的解析式為y=kx，
把點（1，

1

2

）代入得k=

1

2

，
所以直線l的解析式為y=

1

2

x；
（2）因為點P（2，4）在拋物線y=x²上，頂點為（6，3）的拋物線解析式為y=（x-6）²+3，
而拋物線y=x²向上平移3個單位，向右平移6個單位得到y=（x-6）²+3，
所以點P（2，4）向上平移3個單位，向右平移6個單位得到P₁的坐標為（8，7）；
故答案為

1

2

x，（8，7）；
（3）OP=

22+42

=2

5

，
設平移后點的坐標為（t，

1

2

t），
所以t²+（

1

2

t）²=（2

5

）²，解得t=±4，
則平移后點的坐標為（4，2）或（-4，-2），
所以此時的二次函數的解析式為y=（x-4）²+2或y=（x+4）²-2．

點評：本題考查了二次函數與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．