Question

【題目】如圖，正方形中，點是邊上異于點的一點，的垂直平分線分別交、于，連.

（1）求證：；

（2）請求出：的度數；

（3）試猜想線段之間的數量關系并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）90° （3）AE=DF+BM

【解析】

（1）本題考查垂直平分線的性質，按照其性質直接作答即可．

（2）本題考查全等三角形的判定，可通過做輔助線構造全等三角形，繼而通過角度的等量替換解答本題．

（3）本題考查線段之間的數量關系，需要通過做輔助線構造全等三角形，利用全等性質推出邊等，最后進行邊的替換解答本題．

（1）∵EF是AM的垂直平分線

又∵點K在線段EF上

∴ KA=KM

（2）過K點作KQ，KT分別垂直于AB，BC，如下圖所示

∵正方形ABCD，點K在其對角線BD上

∴KQ=KT，四邊形QKTB為正方形

又∵KA=KM，∠KQA=∠KTM=90°

∴△KAQ△KMT（HL）

∴∠AKQ=∠TKM

∵∠QKT=90°

∴∠QKT=∠QKM+∠MKT=90°

∴∠QKT=∠QKM+∠AKQ=90°

∴∠AKM=90°

（3）過F點作FG⊥AB于G點，如下圖所示

∴AG=DF，∠FEG+∠GFE=90°

∵EF⊥AM

∴∠BAM+∠FEG=90°

∴∠BAM=∠GFE

又∵∠FGE=∠ABM=90°，GF=AB

∴△FGE△ABM（ASA）

∴GE=BM

故AE=AG+GE=DF+BM