Question

先閱讀下面的例題，再按照要求解答：
例題：解一元二次不等式x²-9＞0
解：∵x²-9=（x+3）（x-3），
∴（x+3）（x-3）＞0．
由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，有（1）

x+3＞0 x-3＞0

，（2）

x+3＜0 x-3＜0

解不等式組（1），得x＞3
解不等式組（1），得x＜-3
故（x+3）（x-3）＞0的解集是x＞3或x＜-3
故不等式x²-9＞0的解集為x＞3或x＜-3．
問題：用上述方法求不等式的解集．
（1）求不等式x²-3x-4＞0的解集．
（2）求分式不等式

5x+1

2x-3

＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）首先把x²-3x-4分解因式得（x-4）（x+1），再根據有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，可得①

x-4＞0 x+1＞0

，②

x-4＜0 x+1＜0

，再解出兩個不等式組即可得到不等式x²-3x-4＞0的解集；
（2）根據有理數的除法法則“兩數相除，同號得正，異號得負”，可得①

5x+1＜0 2x-3＞0

，②

5x+1＞0 2x-3＜0

，再解不等式組可得分式不等式

5x+1

2x-3

＜0的解集．

解答：解：（1）∵x²-3x-4=（x-4）（x+1），
∴（x-4）（x+1）＞0，
由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，有①

x-4＞0 x+1＞0

，②

x-4＜0 x+1＜0

，
解不等式組①得：x＞4
解不等式組②得：x＜-1，
故（x+1）（x-4）＞0的解集是x＞4或x＜-1，
故不等式x²-3x-4＞0的解集為x＞4或x＜-1；

（2）由有理數的除法法則“兩數相除，同號得正，異號得負”，可知①

5x+1＜0 2x-3＞0

，②

5x+1＞0 2x-3＜0

，
解不等式組①得：無解，
解不等式組②得：-

1

5

＜x＜1.5，
故不等式

5x+1

2x-3

＜0的解集為-

1

5

＜x＜1.5；

點評：此題主要考查了分式不等式以及一元二次不等式的解法，關鍵是根據有理數的除法和乘法法則判斷出不等式里面式子的符號，組成不等式組，再求解集即可．