Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分別為邊AB、BC的中點，連結DE，點P從點A出發，沿折線AD－DE－EB運動，到點B停止．點P在AD上以cm/s的速度運動，在折線DE－EB上以1cm/s的速度運動．當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在線段AC上．設點P的運動時間為t(s).

（1）當點P在線段DE上運動時，線段DP的長為______cm,（用含t的代數式表示）．
（2）當點N落在AB邊上時，求t的值．
（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，設五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數關系式．
（4）連結CD．當點N于點D重合時，有一點H從點M出發，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續做往返運動，直至點P與點E重合時，點H停止往返運動；當點P在線段EB上運動時，點H始終在線段MN的中心處．直接寫出在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍．

Answer 1

（1）t－2（2）t=4或t=（3）（4）t=或t=5或
6≤t≤8。

解：（1）t－2。
（2）當點N落在AB邊上時，有兩種情況：

①如圖（2）a，當點N與點D重合時，此時點P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。
②如圖（2）b，此時點P位于線段EB上．
∵DE="1" 2 AC=4，∴點P在DE段的運動時間為4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。
∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。
綜上所述，當點N落在AB邊上時，t=4或t=。
（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況：

①當2＜t＜4時，如圖（3）a所示。
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。
∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。
∴FM=AM=t．
∴
 。
②當＜t＜8時，如圖（3）b所示。
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，
∴
。
綜上所述，S與t的關系式為：。
（4）在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍是：t=或t=5或
6≤t≤8。
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得AB=cm。
∵D為邊AB的中點，∴AD=cm。
又∵點P在AD上以cm/s的速度運動，∴點P在AD上運動的時間為2s。
∴當點P在線段DE上運動時，在線段DP上的運動的時間為t－2s。
又∵點P在DE上以1cm/s的速度運動，∴線段DP的長為t－2 cm。
（2）當點N落在AB邊上時，有兩種情況，如圖（2）所示，利用運動線段之間的數量關系求出時間t的值。
（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況，如圖（3）所示，分別用時間t表示各相關運動線段的長度，然后利用求出面積S的表達式。
（4）本問涉及雙點的運動，首先需要正確理解題意，然后弄清點H、點P的運動過程：
依題意，點H與點P的運動分為兩個階段，如下圖所示：

①當4＜t＜6時，此時點P在線段DE上運動，如圖（4）a所示。
此階段點P運動時間為2s，因此點H運動距離為2.5×2=5cm，而MN=2，
則此階段中，點H將有兩次機會落在線段CD上：
第一次：此時點H由M→H運動時間為（t－4）s，運動距離MH=2.5（t－4），
∴NH=2－MH=12－2.5t。
又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，
由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。
第二次：此時點H由N→H運動時間為t－4－=（t－4.8）s，運動距離NH=2.5（t－4.8）=2.5t－12，
又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，
由DN=2NH得到：t－4=2（2.5t－12），解得t=5。
②當6≤t≤8時，此時點P在線段EB上運動，如圖（4）b所示。
由圖可知，在此階段，始終有MH=MC，即MN與CD的交點始終為線段MN的中點，即點H。
綜上所述，在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍是：t=或t=5或6≤t≤8。